Εισαγωγή στο Decoupling

Στέφανος Κούστας

Περίληψη: Το ℓ²-decoupling έχει γίνει από τα πιο σημαντικά εργαλεία της σύγχρονης Αρμονικής Ανάλυσης, αποκαλύπτοντας βαθιές συνδέσεις ανάμεσα στη γεωμετρία, την ανάλυση και τη θεωρία αριθμών. Στην ομιλία αυτή θα παρουσιάσουμε τη βασική ιδέα του decoupling: πώς η καμπυλότητα ενός γεωμετρικού αντικειμένου επιτρέπει τον σχεδόν ορθογώνιο διαχωρισμό διαφορετικών κυμάτων. Θα δούμε πώς το Θεώρημα Decoupling των Bourgain-Demeter οδηγεί σε μία εκτίμηση για εκθετικά αθροίσματα και, ως συνέπεια, στην απόδειξη του Θεωρήματος Μέσης τιμής του Vinogradov - μίας κλασικής εικασίας της αναλυτικής θεωρίας αριθμών που παρέμενε ανοικτή για 85 χρόνια.

Abstract: ℓ²-decoupling has become one of the most important tools of modern Harmonic Analysis, revealing deep connections between geometry, analysis, and number theory. In this talk, we will present the basic idea of decoupling: how the curvature of a geometric object allows for the nearly orthogonal separation of different waves. We will see how the Bourgain-Demeter Decoupling Theorem leads to an estimate for exponential sums and, as a consequence, to the proof of Vinogradov's Mean Value Theorem - a classic conjecture of analytic number theory that remained open for 85 years.

Βιβλιογραφία:

1. Demeter C., Fourier Restriction, Decoupling, and Applications. Cambridge University Press, 2020.
2. Tao, Terrence, An Introduction to Decoupling Theory. Blog series, 2014-15.
3. (*) Jean Bourgain, Ciprian Demeter, Decouplings for curves and hypersurfaces with nonzero Gaussian curvature.
4. (*) Jean Bourgain, Ciprian Demeter, Larry Guth, Proof of the main conjecture in Vinogradov's mean value theorem for degrees higher than three.