Λέσχη Μαθηματικών
Χειμερινό εξάμηνο 2025-26, Τμ. Μαθηματικών ΕΚΠΑ
Η λύση του προβλήματος Kakeya σε πεπερασμένα σώματα, από τον Dvir:
Το πρόβλημα Kakeya εντάσσεται στη γεωμετρική θεωρία μέτρου. O Dvir, πήρε μία διακριτή μορφή του προβλήματος και, για να τη λύσει, χρησιμοποίησε το λεγόμενο polynomial method. Το polynomial method είναι περιγράφεται σε γενικές γραμμές ως εξής: Αν θέλουμε να μετρήσουμε σημεία στο χώρο, μπορούμε ίσως να βρούμε ένα πολυώνυμο χαμηλού βαθμού, ώστε τα σημεία μας να είναι ρίζες αυτού του πολυωνύμου. Τότε ξέρουμε, για παράδειγμα, ότι κάθε γραμμή περιέχει λίγα από τα σημεία.
Η ίδια τεχνική χρησιμοποιείται και στη λύση του προβλήματος των joints στον ℝn.
Αυτό επίσης σχετίζεται με την εικασία Kakeya.Το 2010, οι Guth και Katz έλυσαν ένα πολύ παλιό πρόβλημα του Erdős, που ήταν το εξής: Αν έχουμε n σημεία στο επίπεδο, μπορούμε να δείξουμε ότι έχουμε και πολλές διαφορετικές αποστάσεις μεταξύ τους; Η απάντηση ήταν καταφατική:
Για τη λύση, οι Guth και Katz δημιούργησαν μία αναβαθμισμένη πολυωνυμική μέθοδο, το polynomial partitioning. Το ίδιο το paper των Guth και Katz είναι πολύ δύσκολο να παρουσιαστεί από προπτυχιακούς φοιτητές. Όμως το ίδιο το polynomial partitioning μπορεί να παρουσιαστεί και η απόδειξη είναι πολύ όμορφη. Αξίζει ως τεχνική να τη μάθει κανείς, επειδή πλέον σε αρμονική ανάλυση χρησιμοποιείται κατά κόρον (οι παραπάνω εργασίες έδειξαν ότι το πρόβλημα Kakeya, καθώς και άλλα προβλήματα αρμονικής ανάλυσης, έχουν αλγεβρική υφή. Και το polynomial partitioning χρησιμοποιείται πλέον πολύ και σε αυτούς τους χώρους).
Η ιδέα του polynomial partitioning είναι η εξής: Αν θέλουμε να μετρήσουμε κάποια σημεία στο χώρο, μπορούμε να «κόψουμε» το χώρο σε μικρότερα κομμάτια, με τη βοήθεια μιας αλγεβρικής επιφάνειας, ώστε μέσα σε κάθε μικρότερο κομμάτι να έχουμε περίπου το ίδιο πλήθος σημείων. Έτσι, μπορούμε να μετρήσουμε, μέσω επαγωγής λόγου χάρη, τα σημεία μας μέσα σε κάθε κομμάτι. Απόμενει να μετρήσουμε εκείνα από τα σημεία μας που ζουν πάνω στην αλγεβρική επιφάνεια. Και αυτό βοηθάει, επειδή πλέον μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες της επιφάνειας για τη μέτρησή μας. Το polynomial partitioning, πέρα από την απόδειξη των Guth και Katz στο παραπάνω paper, μπορείτε να το διαβάσετε και σε σημειώσεις της Μ. Ηλιοπούλου εδώ:
Επίσης, μπορούν να παρουσιαστούν άλλα προβλήματα που λύνονται με polynomial partitioning, με σχετικά απλό τρόπο. Ωραίες και κομψές τέτοιες λύσεις υπάρχουν εδώ:
Το πιο σημαντικό από αυτά τα προβλήματα είναι το Szemeredi-Trotter, το οποίο το εξηγείται αναλυτικά στις σημειώσεις της Μ. Ηλιοπούλου. Η λύση με polynomial partitioning είναι όμορφη και απλή.Το cap-set πρόβλημα:
Εξηγείται πολύ ωραία από τον T. Tao εδώ: Σε περίπτωση που φαίνεται δύσκολο, υπάρχει μία διάλεξη της Μ. Ηλιοπούλου πάνω στο πρόβλημα (που βασίζεται σε ιδέες του T. Tao).Το πλαίσιο θυμίζει γραμμική άλγεβρα με τρισδιάστατους πίνακες, το οποίο είναι πολύ ενδιαφέρον. Με αυτό το πρόβλημα είχαν ασχοληθεί σημαντικοί αναλύστες (όπως οι Katz και Bateman), χωρίς όμως επιτυχία.