Primitive δακτύλιοι και το θεώρημα πυκνότητας του Jacobson

Δημήτρης Γιαννακάρας (University of Bonn)

Περίληψη: Ένας δακτύλιος Artin έχει ένα πιστό και απλό πρότυπο αν και μόνο αν είναι απλός. Αν αφαιρέσουμε τη συνθήκη ανάλυσης, τότε παίρνουμε την έννοια των primitive δακτυλίων, δηλαδή των δακτυλίων που έχουν ένα πιστό και απλό πρότυπο αλλά δεν ικανοποιούν αναγκαστικά τη συνθήκη του Artin (το απειροδιάστατο ανάλογο των απλών δακτυλίων). Το θεώρημα Πυκνότητας του Jacobson λέει ότι οι primitive δακτύλιοι είναι ακριβώς οι πυκνοί υποδακτύλιοι (ως προς την τοπολογία γινόμενο) δακτυλίων ενδομορφισμών πάνω από δακτυλίους διαίρεσης.

Abstract: An Artin ring has a faithful and simple module if and only if it is simple. If we remove the decomposition condition, then we get the notion of primitive rings, that is, rings that have a faithful and simple module but do not necessarily satisfy the Artin condition (the infinite-dimensional analogue of simple rings). Jacobson's Density Theorem says that primitive rings are precisely the dense subrings (in the product topology) of endomorphism rings over division rings.