Λέσχη Μαθηματικών

Η εικασία περιορισμού του Stein (σε 3 μέρη)

Κούστας Στέφανος

Περίληψη: Η εικασία Restriction του Stein (1967) είναι από τα διασημότερα προβλήματα της Αρμονικής Ανάλυσης, ανοικτό μέχρι και σήμερα σε όλες τις διαστάσεις \(n \geqslant 3\). Τα τελευταία χρόνια, μετά από τα αποτελέσματα του Guth, έχει αλλάξει ριζικά ο τρόπος με τον οποίον αντιμετωπίζεται το πρόβλημα.

Σε αυτό το mini-course θα συζητήσουμε την προέλευση του προβλήματος από την ανισότητα Hausdorff-Young και τους περιορισμούς που προκύπτουν φυσικά κατά τη μελέτη του. Μετά από μία εκτενή εισαγωγή, θα δούμε τη λύση του προβλήματος στις 2 διαστάσεις και τις βασικές τεχνικές που χρησιμοποίησε ο Guth για να αποδείξει τα αποτελέσματα για διαστάσεις \(n \geqslant 3\). Στο τέλος θα αναφερθούμε και σε αποτελέσματα που δεν επηρεάζονται από τη διάσταση του χώρου, υπό την έννοια ότι ισχύουν για όλες τις διαστάσεις \(n \geqslant 2\).

Abstract: Stein's Restriction conjecture (1967) is one of the most famous problems in Harmonic Analysis, remaining open to this day, in all dimensions \(n \geqslant 3\). In recent years, following Guth's results, the approach to the problem has changed radically.

In this mini-course, we will discuss the origin of the problem from the Hausdorff-Young inequality, and the constraints that naturally arise in its study. After a long introduction, we will see the solution to the problem in 2 dimensions and the basic techniques Guth used to prove the results in dimensions \(n \geqslant 3\). Finally, we will also mention results that are unaffected by the dimension of the space, in the sense that they hold for all dimensions \(n \geqslant 2\).

Προαπαιτούμενες γνώσεις:

• Πραγματική ανάλυση, στοιχειώδης απειροστικός λογισμός 3.
• Βασικές γνώσεις θεωρίας μέτρου.
• Ο δυϊκός του \(L^p\) σε χώρους \(σ-\)πεπερασμένου μέτρου.

Βιβλιογραφία:

Βιβλία

1. L. Grafakos, Classical Fourier Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer New York, NY, 2014.
2. L. Grafakos, Modern Fourier Analysis, Graduate Texts in Mathematics, Springer New York, NY, 2014.
3. P. Mattila, Fourier Analysis and Hausdorff Dimension, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.

1. L. Guth, A restriction estimate using polynomial partitioning, J. Amer. Math. Soc. 29, no. 2, pp. 371-413. (2016).
2. L. Guth, Restriction estimates using polynomial partitioning II, Acta Math, 221, pp. 81-142. (2018).
3. T. Mitsis, A Stein-Thomas restriction theorem for general measures, Publ. Math. Debrecen, 60 (1-2), pp. 89-90. (2002).