Λέσχη Μαθηματικών

Η γεωμετρία πίσω από μία εξίσωση Reaction-Diffusion (σε 3 μέρη)

Φράγκος Αναστάσιος

Περίληψη: Οι εξισώσεις Reaction-Diffusion αποτελούν χρήσιμο εργαλείο για την περιγραφή μίας μεγάλης κατηγορίας φυσικών φαινομένων, τα οποία κυμαίνονται από τη χημεία και τις διάφορες χημικές αντιδράσεις, έως την επιστήμη των υλικών και τη δημιουργία κραμάτων.

Σε αυτό το mini-course θα επικεντρωθούμε στην εξίσωση Allen-Cahn και τις γεωμετρικές ιδιότητές της. Η φυσική που υποκρύπτεται πίσω από τα μαθηματικά είναι η περιγραφή του σχηματισμού και της γεωμετρίας των κραμάτων. Αφού εισαγάγουμε βασικές έννοιες από την ανάλυση και τη γεωμετρία, ο φιλόδοξος στόχος μας θα είναι, μεταξύ άλλων, το θεώρημα των Modica-Mortola (1977) και επίπλέον η συσχέτιση των ελαχιστικών υπερεπιφανειών με τις λύσεις της εν λόγω εξίσωσης, μέσω του θεωρήματος των Pacard-Ritoré (2003). Σκοπεύουμε να δώσουμε μία ιδέα για την απόδειξη του θεωρήματος Modica-Mortola, αλλά όχι για το Pacard-Ritoré. Παρόλα αυτά, θα δώσουμε τα απαραίτητα γεωμετρικά εργαλεία για την απόδειξή του.

Abstract: Reaction-Diffusion equations are a useful tool for describing a large class of physical phenomena, ranging from chemistry and various chemical reactions, to materials science and alloying.

In this mini-course we will focus on the Allen-Cahn equation and its geometric properties. The physics behind the mathematics is the description of the formation and the geometry of alloys. After introducing basic concepts from analysis and geometry, our ambitious goal will be, among other things, the theorem of Modica-Mortola (1977) and also to relate the minimal hypersurfaces to the solutions of this equation, through the Pacard-Ritoré theorem (2003). We intend to sketch the proof of the Modica-Mortola theorem, but not for Pacard-Ritoré. Nevertheless, we will give the necessary geometrical tools for its proof.

Προαπαιτούμενες γνώσεις:

• Πραγματική ανάλυση.
• Απειροστικός λογισμός 3.
• Θεωρία μέτρου.
• Βασικές γνώσεις τοπολογίας.
• Θεωρία πολλαπλοτήτων (ή έστω το προπτυχιακό μάθημα της Γεωμετρίας 2).

Βασική βιβλιογραφία:

Για την εξίσωση Allen-Cahn

1. N. D. Alikakos, G. Fusco, P. Smyrnelis: Elliptic Systems of Phase Transition Type. Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications Vol. 91, Birkhäuser, 2018.
2. O. Chodosh: Lecture Notes on Geometric Features of the Allen-Cahn Equation. RTG Summer School 2019, Princeton, 2019.
3. F. Pacard: The role of minimal surfaces in the study of the Allen-Cahn equation. Contemporary Mathematics, 570, AMS, Providence, Rode Island, 2012.
4. F. Pacard, M. Ritoré: From the constant mean curvature hypersurfaces to the gradient theory of phase transitions. J. Differential Geometry 64, No. 3, 2003, pp. 356-423.

1. U. Dierkes, S. Hindebrandt, F. Sauvigny: Minimal Surfaces. A Series of Comprehensive Studies in Mathematics, Vol. 339, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2010.
2. T. Schmidt: Minimal Surfaces and Plateau's problem. Lecture notes, Universität Hamburg, 2015.

1. M. P. do Carmo: Riemannian Geometry. Mathematics: Theory and Applications, Birkhäuser, Boston, 1992.
2. W. Kühnel: Differential Geometry, Curves - Surfaces - Manifolds. Third Edition, Student Mathematical Library, Vol. 77, AMS, Providence, Rode Island, 2015.

1. L. C. Evans: Partial Differential Equations. Second Edition, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19, AMS, Providence, Rode Island, 2012.