Περίληψη: Η Θεωρία των ελαχιστικών επιφανειών, από τους πιο όμορφους και αναπτυσσόμενους τομείς της Διαφορικής Γεωμετρίας, ξεκινά χρονικά από την εποχή των Euler και Lagrange παράλληλα με τον λογισμό των μεταβολών. Στην σύγχρονη εποχή οι ελαχιστικές επιφάνειες μελετώνται με την βοήθεια μεθόδων της γεωμετρικής ανάλυσης κυρίως. Σε αυτή την παρουσίαση αρχικά θα παρουσιάσουμε τα βασικά στοιχεία των ελαχιστικών υπο-πολλαπλοτήτων και έπειτα θ' αναπτύξουμε τους τύπους της πρώτης και δεύτερης μεταβολής του εμβαδού της επιφάνειας. Στην συνέχεια, αφού ορίσουμε τον τελεστή ευστάθειας L (Jacobi) μιας ελαχιστικής επιφάνειας, ο οποίος προκύπτει από τη δεύτερη μεταβολή του εμβαδού, θα εξετάσουμε το πλήθος των αρνητικών ιδιοτιμών του(δείκτης Morse) και θα μελετήσουμε τις γεωμετρικές συνέπειές του, όπως αυτές αναφέρονται στη γνωστή εργασία του Francisco Urbano (1990). H συγκεκριμένη εργασία μάς δίνει ενα θεώρημα ταξινόμησης ελαχιστικών εμβαπτύσεων στη μοναδιαία 3-διάστατη σφαίρα χαμηλού δείκτη Morse, που άνοιξε τον δρόμο για την απόδειξη της εικασίας του Willmore το 2014, από τους Marques - Neves.

Abstract: The Theory of Minimal Surfaces, one of the most beautiful and developing fields of Differential Geometry, dates back to the time of Euler and Lagrange, along with the calculus of variations. In modern times, minimal surfaces are studied mainly with the help of geometric analysis methods. In this presentation, we will first present the basic elements of minimal submanifolds and then develop the formulas for the first and second variation of the area. Then, after defining the stability operator L (Jacobi) of a minimal surface, which results from the second variation of the area, we will examine the number of its negative eigenvalues (Morse index) and we will study its geometric consequences, as mentioned in the well-known work of Francisco Urbano (1990). The aforementioned work gives us a classification theorem for minimal immersions in the unitary 3-dimensional low-index Morse sphere, which paved the way for the proof of Willmore's conjecture in 2014, by Marques - Neves.