Λέσχη Μαθηματικών
Εαρινό εξάμηνο 2024-25, Τμ. Μαθηματικών ΕΚΠΑ
Εισαγωγικές σημειώσεις από τον Yuncken:
Μερικές πληροφορίες σχετικά με την εικασία και τη λύση της, από το hub.uoa.gr:
Η πλειονότητα των φαινομένων στη φύση, όπως και αρκετά φαινόμενα στην οικονομία και την πληροφορική, περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους (ΜΔΕ). Η επίλυσή τους, όταν είναι δυνατή, δίνει τη δυνατότητα προβλέψεων για την εξέλιξη του φαινομένου. Όμως το πρόβλημα με τις ΜΔΕ εντοπίζεται σε θεμελιώδες επίπεδο, πολύ πριν κανείς αναζητήσει τεχνικές εύρεσης λύσεων: Υπάρχει λύση; Και αν ναι, τι είδους λύση μπορεί να περιμένεις κανείς; Υπάρχει λύση εύκολα διαχειρίσιμη για την εξαγωγή προβλέψεων; Για τον λόγο αυτό αναζητούνται συνθήκες που εξασφαλίζουν ότι οι λύσεις μιας δεδομένης ΜΔΕ διαθέτουν διαφορισιμότητα σε κάθε τάξη. Ο μαθηματικός όρος για την ιδιότητα αυτή είναι “υποελλειπτικότητα”. Επιπλέον, εύλογη απαίτηση είναι οι συνθήκες αυτές να είναι υπολογίσιμες. Αυτού του είδους οι απαιτήσεις παρουσιάζουν μεγάλη δυσκολία, ακόμα και σε απλές περιπτώσεις ΜΔΕ, όπως οι γραμμικές. Η δυσκολία αυτή αυξάνεται δραματικά όταν παρουσιάζονται ιδιομορφίες, συνήθως με τη μορφή μηδενισμών κάποιων παραμέτρων. Οι περιπτώσεις με τέτοιου είδους ιδιομορφίες παρουσιάζονται με τη μεγαλύτερη συχνότητα, και μάλιστα είναι οι σημαντικότερες από την άποψη των εφαρμογών.
Είναι γνωστό από τον 19ο αιώνα ότι οι συμμετρίες παίζουν κεντρικό ρόλο στην κατανόηση και επίλυση ΜΔΕ. Αυτό επιβεβαιώθηκε επανειλημμένα τον 19ο αιώνα σε μελέτες διάσημων Μαθηματικών, όπως οι Poisson, Jacobi, Lagrange, Frobenius, Sophus Lie – μάλιστα με έναυσμα προβλήματα Φυσικής (κλασική μηχανική). Στις αρχές του 20ου αιώνα, η Emmy Noether διατυπώνει το εντυπωσιακό αποτέλεσμα, ότι οι αρχές διατήρησης στη Φυσική προκύπτουν από τις συμμετρίες. Αργότερα, ο Καραθεοδωρή χρησιμοποίησε συμμετρίες για την κατανόηση της θερμοδυναμικής. Επιστέγασμα αποτελεί η διατύπωση του δεύτερου νόμου της θερμοδυναμικής. Αξίζει να σημειωθεί ότι η θερμοδυναμική παρουσιάζει ισχυρή συγγένεια με την Στοχαστική Ανάλυση.
Μεγάλη ώθηση στην μελέτη των γραμμικών ΜΔΕ έφερε την δεκαετία του 1960 ο Lars Hoermander, ο οποίος ανέδειξε τον θεμελιώδη ρόλο του πρωτεύοντος συμβόλου. Το 1979, οι Helffer και Nourrigat διατύπωσαν το σύμβολο χρησιμοποιώντας τις συμμετρίες και διατύπωσαν την εικασία ότι η υποελλειπτικότητα εξασφαλίζεται από την συμπεριφορά του συμβόλου σε έναν μικρό και υπολογίσιμο αριθμό αναπαραστάσεων της ομάδας των συμμετριών. Εκτός από τη δουλειά του Hoermander, προάγγελοι της εικασίας αυτής είναι οι εργασίες των Stein και Folland. Οι Helffer και Nourrigat απέδειξαν την εικασία σε ορισμένες περιπτώσεις. Τις δεκαετίες του 1980 και 1990 εμφανίστηκαν περαιτέρω αποτελέσματα και το 2019 οι van Erp και Yuncken έδωσαν ένα πολύ πιο γενικό αποτέλεσμα, χρησιμοποιώντας ιδέες των Debord-Σκανδάλη. Ωστόσο, για να αποδειχθεί η εικασία έμενε να αντιμετωπιστούν οι περιπτώσεις με ιδιομορφίες. Για σειρά ετών, η δυσκολία αυτή έκανε την απόδειξη της εικασίας να φαίνεται απόμακρη.
Η αντιμετώπιση των ιδιομορφιών είναι το πρωταρχικό επίτευγμα, που οδήγησε στην πλήρη απόδειξη της εικασίας Helffer-Nourrigat. Η κρίσιμη επινόηση των Ανδρουλιδάκη-Mohsen-Yuncken είναι η χρήση ειδικού συνδυασμού μεθόδων Μη-Μεταθετικής Γεωμετρίας με την θεωρία που αναπτύχθηκε την δεκαετία του 2010 από τους Ανδρουλιδάκη και Σκανδάλη για τις φυλλώδεις δομές με ιδιομορφίες. Ειδικότερα, η άλγεβρα τελεστών (C*-άλγεβρα) μιας τέτοιας δομής, που κατασκευάστηκε από τους Ανδρουλιδάκη-Σκανδάλη, ήταν το απαραίτητο συστατικό για την απόδειξη της εικασίας. Για όλους αυτούς τους λόγους, η εργασία των Ανδρουλιδάκη-Mohsen-Yuncken φαίνεται να ανοίγει μια καινούργια προσέγγιση στην θεωρία των ΜΔΕ γενικότερα.
Συστατικά στοιχεία της εργασίας είναι η Ανάλυση Fourier (ψευδοδιαφορικός λογισμός), η Θεωρία Απειροδιάστατων Αναπαραστάσεων (μέθοδος τροχιών του Kirillov), η Γεωμετρία (φυλλώδεις δομές με ιδιομορφίες), η Άλγεβρα (θεωρία ομάδων), καθώς και η Συναρτησιακή Ανάλυση (Άλγεβρες Τελεστών).